[선형대수] 행렬의 연산(합, 곱)과 성질

🔻행렬의 기본연산

• 행렬 A와 B
•  

🔸연산의 전제 = 상등관계

• 어떤 연산을 정의하려면, 연산과 연산의 결과가 같다는 상등관계(=)가 존재해야 한다. 예를 들어, 1+2 = 3 이라는 실수의 덧셈 연산을 정의하려면 “1과 2의 합과 3이 같다”라는 정의가 선행되어야 한다.
• 행렬의 상등관계
  • 어떤 두 행렬이 같다라는 것의 정의 : 동일한 크기(행과 열), 동일한 성분을 지닌 두 행렬을 같고 정의내린다.

🔸합

• 전제 : 두 행렬의 size가 완벽히 일치해야 한다.
• 연산 방법 : 두 행렬을 포개어 같은 위치끼리 합 연산한다. = 동일 크기 행렬의 성분 간 합
•  
• 

📢왜 행렬의 덧셈은 이렇게 정의되었는가? 서로 다른 크기의 행렬을 더해도 되지 않을까?

그림과 같은 A+B=C 연산을 생각해보자.

행렬 덧셈의 정의에 따르면 위의 식에서 A와 B의 크기를 같게 해야 하는데, A의 3열을 추가하여 0으로 채우면 될 것 같다.

A’ + B = C 식은 올바른 식이 맞다. 그런데 A+B=C 방정식과 A’+B=C 방정식이 같은가?

같지 않다! 왜냐하면 앞서 정의한 행렬의 상등관계에 의해 A와 A’가 같지 않음을 알 수 있기 때문이다.

[A+B=C와 A’+B=C는 같지 않다.]

따라서 A+B=C 식은 A’+B=C 처럼 변형될 수 없고, 행렬덧셈 연산의 정의대로 계산해야 상등관계가 맞다.

🔸차

• 전제 : 두 행렬의 size가 완벽히 일치해야 한다.
• 연산 방법 : 두 행렬을 포개어 같은 위치끼리 차 연산한다. (구체적으론 스칼라곱과 행렬합을 사용한 연산이다)
• 

🔸스칼라곱(스칼라곱)

• 연산 방법 : 스칼라를 각 원소에 곱한다.

🔻행렬곱

• 행렬곱 용어
• inner product ⊃ dot product

🔸행렬곱 (Multiplication)

• 전제 : A,B의 행렬곱일 때, A의 열의 수와 B의 행의 수가 같아야 한다.
• 연산방법

• 행렬곱의 과정(구체적으로)
  1. 행렬 A에서는 r행, 행렬 B에서는 c열을 선택한다.(r행의 크기와 c열의 크기가 같아야 한다 ⇒ 행렬 A의 열 개수와 행렬 B의 행 개수가 같아야 한다.)
     • 보다 명확한 원칙 : 대응하는 차원**의 원소 수가 일치해야 한다??? >>** [아래 행렬곱과 차원](#행렬곱과 차원)을 참고
• 

2.  A행렬 r행의 i번째 요소와 B행렬 c열의 i번째 요소를 곱한다. k번 반복하여 모두 더한다.

    $$ \operatorname{result}=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}A(r,i)\times B(i,c) $$


3.  2번의 결과값을 새로운 행렬의 (r,c)위치에 출력한다.

    $$ N_{rc}=\operatorname{result} $$

    ```
    N = np.zeros((A.shape[0],B.shape[1]))
    for r in range(A.shape[0]):
        for c in range(B.shape[1]):
            result = 0
            for i in range(A.shape[0]):
                result += A[r,i] * B[i,c]
            N[r,c] = result
    N
    '''
    array([[19., 22.],
           [43., 50.]])
    '''
    ```

• 행렬곱과 차원즉, 차원이 대응되어야 한다는 의미는 행렬곱에서 차원수를 쭉 나열했을 때, 서로 붙어있는 차원끼리 수가 같아야 함을 의미한다. 그림으로 이해하는 것이 가장 좋다.[행렬곱에서 ‘차원 대응’의 의미]
• 
• ex) M x N 행렬과 N x P 행렬을 행렬곱하면 M x P 행렬이 출력된다.

🔻행렬 연산의 성질

🔸행렬곱 연산의 성질

• 행렬의 곱셈에서 교환법칙을 적용할 수 없다.
• 행렬의 곱셈에서 결합법칙은 성립한다.
  • 활용) 곱셈의 결합법칙은 연산횟수를 줄일 수 있다.
    • 브루트포스의 경우 : 9번 곱셈을 수행
    • 결합법칙을 활용한 거듭제곱 활용 : 4번만에 수행
     
  • ex) 어떤 수 또는 행렬 A를 10번 곱하는 문제

• 행렬곱에 대한 항등원은 단위행렬(항등행렬)이다.
• 행렬곱에 대한 역원은 역행렬이다.
• 행렬곱 연산은 경우에 따라 다양한 의미를 가진다.
  ex)
  

🔸행렬 거듭제곱의 성질

• 실수의 거듭제곱과 동일한 성질을 지닌다.

1. \( A^0=I \) : 어떤 행렬이 영행렬이 아닐 때, 0승은 항등원이다.
   • 실수에서도 0의 0승은 논쟁거리인 것처럼 행렬도 영행렬의 0승은 정의할 수 없다.
2. \( (A^b)^c=A^{bc} \)
3. \( A^b\cdot A^c=A^{b+c} \)

🔸행렬 거듭제곱의 성질